Zona Calculând cu o integrală predeterminată

Vom continua să ia în considerare aplicarea de calcul integral. În această lecție, vom discuta tipurile și problema cea mai comună - modul de utilizare a definit integralei pentru a calcula aria unei figuri plane. În cele din urmă, căutând sensul în matematici superioare - dar îl găsesc. Nu se știe niciodată. Va trebui să se apropie de viață aici, în funcții elementare zonă suburbană și de a găsi zona prin intermediul unui integrala definită.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie:

1) Înțelegerea nedefinită integrală cel puțin la nivelul mediu. Astfel, fierbător de apă ar trebui să devină mai întâi familiarizați cu lecția integrală nedefinită. Exemple de soluții.

2) Pentru a putea aplica formula Teorema fundamentală și se calculează precis integrală. Stabilirea de relații calde și prietenoase cu anumite integralele integrala definită poate fi pe pagină. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi zona cifra nu este necesar să aibă cunoștințe de mult integralei nedefinită și definită. Sarcina „pentru a calcula suprafața folosind definită integral“ implică întotdeauna desenul de construcție. mult mai importantă problemă va fi cunoștințe și abilități de desene de construcție dumneavoastră. În acest sens, este util să se perie pe graficele de bază ale funcțiilor elementare, și, cel puțin, să fie capabil de a construi o linie dreaptă, și parabolic hiperbolă. Acest lucru se poate face (mai multe - este necesar) cu ajutorul unui Graficele de material metodic și proprietățile funcțiilor și articole de transformări geometrice ale graficelor elementare.

De fapt, cu sarcina de a găsi zona cu ajutorul definit integralei toate cunosc din liceu, și ne-am lăsa un pic înainte de a curriculum-ului. Acest articol, în general, nu ar fi, dar faptul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, atunci când un student suferă de turnul urât stăpânirea cu entuziasm curs de matematici superioare.

Lucrările atelierului sunt stabilite pur și simplu, în detaliu și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapez curbat.

Un trapez curbat figura numit plan delimitat de axa, dreaptă, iar funcția continuă program interval de timp care nu se schimbă semnul în acest interval. Să nu această cifră este sub axa x:

Apoi, zona trapezului curbilinie este numeric egal cu definit integralei. Orice integrala definită (care există) are o semnificație geometrică foarte frumos. La lecția definită integrală. Exemple de soluții le-am spus că definită integrantă - acest număr. Și acum e timpul să recunoaștem un fapt mai util. Din punct de vedere al geometriei integrala definită - un spațiu.

Aceasta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric în zona unor figuri. De exemplu, ia în considerare definit integralei. Integrantul definește o curbă plan care se află deasupra axei (oricine poate efectua desen), iar integrala definită este numeric egală cu suprafața trapezului curbiliniu corespunzătoare.

Se calculează aria figurii delimitată de ,,,.

Aceasta este o formulare tipică a sarcinii. Primele și cele mai importante soluții punctuale - clădire desen. Mai mult decât atât, desenul trebuie să fie construite în mod corespunzător.

În construcția de desen, am recomandăm următoarea procedură: în primul rând, pentru a construi o mai bună toate liniile (dacă există), și numai atunci - Parabolă, hiperbolă, grafice alte funcții. Graficele funcții avantajoase pentru a construi pointwise. cu construcția aparatelor pointwise pot fi găsite în Diagramele material de referință și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi foarte utile în ceea ce privește lecția - cum să construiască rapid o parabole.

În această problemă, o soluție ar putea arata.
Efectuați desenul (rețineți că ecuația definește axa):

Nu va ecloza trapez curbilinie, este în mod evident, a unor zone în cauză. Decizia continuă:

Pe graficul segmentului este situat deasupra axei. Prin urmare:

Cei care au dificultăți cu calcularea utilizării integrale și definit de formula Newton-Leibniz, se referă la prelegerea definit integral. Exemple de soluții.

Odată ce lucrarea se face, este întotdeauna util să se uite la desen și dau seama dacă răspunsul real, dovedit. În acest caz, „cu ochiul liber“ contoriza numărul de celule din desen - bine, aproximativ 9 dactilografiată, similar cu adevărul. Este clar că, dacă ne-am întors, să zicem, răspunsul este de 20 de unități pătrate, atunci este clar că undeva o greșeală - în figura considerată a 20 de celule este în mod clar nu se potrivesc, de la o duzină de forțe. În cazul în care răspunsul dovedit negativ, sarcina este de asemenea rezolvată corect.

Se calculează aria figurii delimitate de linii, iar axa

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Ce se întâmplă dacă trapezul curbilinie este situat sub axa?

Se calculează aria figurii delimitate de linii, iar axele de coordonate.

Decizie. Efectuați desen:

Dacă trapez curbat situat sub axa (sau cel puțin nu mai mare decât o anumită axă), suprafața sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:

Atenție! A nu se confunda cele două tipuri de probleme:

1) În cazul în care vi se cere să rezolve o parte integrantă definită fără sens geometric, acesta poate fi negativ.

2) În cazul în care vi se cere să găsească aria figurii folosind definită integral, zona este întotdeauna pozitiv! Acesta este motivul pentru care doar considerat formula apare negativ.

În practică, de multe ori o figură și dispus în partea superioară și în jumătatea inferioară, și, prin urmare, de la școala elementară zadachek apelează la mai multe exemple semnificative.

Găsiți o suprafață plană a figurii mărginită de linii.

Decizie. În primul rând aveți nevoie pentru a efectua desen. În general vorbind, construcția desenului în problemele din zonă ne interesează cel mai mult în intersecția liniilor. Vom găsi punctul de intersecție al unei parabole și o linie dreaptă. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă - analitică. Rezolvăm ecuația:

Prin urmare, limita inferioară de integrare, limita superioară a integrării.
În acest fel mai bine, să nu folosească ocazia.

Este mult mai profitabil și mai rapid pentru a construi o linie de puncte înțelept, precum și limitele de integrare sunt găsite afară, așa cum au fost „de la sine.“ Tehnica de construcție pointwise pentru grafice diferite discutate în detaliu în graficele de referință și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de a găsi limitele încă mai trebuie uneori să se aplice în cazul în care, de exemplu, graficul este suficient de mare, sau de construcție potochennoe nu a dezvăluit limitele de integrare (care poate fi fracționată sau irațională). Și acest exemplu, considerăm, de asemenea.

Ne întoarcem la sarcina noastră: de a construi o primă linie rațională și apoi parabolei. Efectuați desen:

Din nou, în cazul în care construcția limitelor pointwise de integrare sunt adesea aflat „automat“.

Acum formulă de lucru. Dacă intervalul o funcție continuă este mai mare sau egală cu o funcție continuă, aria figurii delimitate de graficele funcțiilor și linii de date, pot fi găsite de formula:

Nu nu mai este nevoie să se gândească, în cazul în care cifra - deasupra axei sau sub axa, și, aproximativ vorbind, este important ce graficul de mai sus (în raport cu o altă diagramă), și care - de mai jos.

În acest exemplu, este evident că parabolei segment este situată deasupra liniei drepte, și astfel trebuie să fie scăzute din

Finalizarea soluției ar putea arata astfel:

figura delimitată de o parabolă și o linie dreaptă de sus în jos Căutând.
În intervalul corespunzător cu formula:

De fapt, formula de școală pentru zona trapezului curbată în jumătatea inferioară (a se vedea exemplul simplu №3.) - un caz special cu formula. Deoarece axa definită de ecuația, un grafic al funcției nu este situată deasupra axei,

Și acum câteva exemple pentru soluții individuale

Găsiți zona cifra mărginită de linii.

Găsiți zona cifra mărginită de linii.

În cursul soluționării problemelor în calculul zonei cu ajutorul integrala definită se întâmplă incidente, uneori amuzant. Desenul este stabilit în mod corespunzător - dreapta, dar a găsit din greșeală zona ... nu cifra. în acest fel de mai multe ori a ta cu adevărat murdar. Iată un eveniment din viața reală:

Se calculează aria figurii delimitată de ,,,.

Decizie. În primul rând, efectuați desenul:

... Oh, hrenovenky desen a ieșit, dar se pare că încă mai lizibile.

Cifra, care este o zonă de care avem nevoie pentru a găsi un albastru umbrit (uita-te cu atenție la starea - ceea ce figura este limitată). Dar, în practică, există adesea o lipsă de atenție pe „glitch“ care au nevoie pentru a găsi zona a figurii, care este umbrită în verde!

Acest exemplu este încă utilă în faptul că a considerat zona figura cu două integralele definite. într-adevăr:

1) situat pe un segment deasupra axei graficului liniar;

2) În segmentul deasupra axei graficului este o hiperbolă.

Este evident că zona poate (și ar trebui) adauga, astfel:

Ne întoarcem la una mai multe sarcini semnificative.

Se calculează aria figurii delimitată de liniile,
Reprezentați ecuație formularul „școală“, și executați desen pointwise:

Din figură este clar că limita superioară a noastră „bun“ :.
Dar ceea ce este limita inferioară. În mod evident, acest lucru nu este un număr întreg, dar ce? Poate? Dar, în cazul în care este garanția că desenul este executat cu o precizie perfectă, ea poate fi foarte bine acest lucru. Sau rădăcină. Și dacă am greșit a fost reprezentată grafic?

În astfel de cazuri, trebuie să-și petreacă timp suplimentar și să specifice limitele de integrare analitic.

Vom găsi punctele de intersecție ale liniei și parabolei.
Pentru a face acest lucru, vom rezolva ecuația:


,

O altă soluție este trivială, mai important, nu se pierde în substituții și semne, calcul nu este foarte simplu.

În intervalul corespunzător cu formula:

Ei bine, în încheierea lecției, ia în considerare cele două sarcini dificile.

Se calculează aria figurii delimitată de liniile,

Decizie. Noi reprezentăm această cifră în desen.

La naiba, am uitat să semneze programul, dar pentru a reface imagine, îmi pare rău, nu Hotz. Nu desenul, pe scurt, astăzi este ziua =)

Pentru un punct la construirea trebuie să cunoască aspectul undă sinusoidală (și, în general, util să se cunoască programele tuturor funcțiilor elementare), precum și unele dintre valorile sine, ele pot fi găsite în tabelul trigonometric. În unele cazuri (ca aceasta) este permis să construiască desenele schematice, în care, în principiu, ar trebui să fie afișate corect grafice și limitele de integrare.

La exterior nu sunt probleme de integrare, ei urmează direct de condiția: - „X“ variază de la zero la „pee“. Vom lua o decizie în continuare:

Pe graficul segmentului este situat deasupra axei, astfel:

(1) În ceea ce sinus și cosinus integrat în puteri impare pot fi găsite în integralelor lecția funcțiilor trigonometrice. Acest idiom, strangulează un sinus.

(2) Folosind identitatea trigonometric generală

(3) efectuează schimbarea de variabile, atunci:

Noile limite de integrare:

Cine face lucruri rele cu substituții, vă rugăm să mergeți la metoda de înlocuire clasă în nedefinită integrală. Acest lucru nu este algoritmul de înlocuire foarte clar într-o integrală definită, accesați definit integralei. Exemple de soluții.

(4) Aici vom folosi proprietățile definită integral, introducerea limitelor de integrare în ordinea „obișnuită“

Se calculează aria figurii delimitată de liniile,

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. O soluție completă și un răspuns la parter.

Aici, probabil, și toate tehnicile de bază de a găsi spațiu. În afară de tehnicile de integrare, uneori, este necesar să se aplice formula de integrare de către părți în definită integral, nu este prea mare dificultate. Unele exemplu interesant să se gândească greu ... deși ... arc cotangentă fel au întâlnit niciodată:

Se calculează aria figurii delimitate de linii, iar axele de coordonate.

Soluția completă nu este necesar ca esti un pic mai dur. Un răspuns corect va spune. Toate materialele necesare pentru lucrarea de pe site-ul este! ;-) Si chiar mai mult - după trei ani lungi, a apărut în cele din urmă calculul articol de zona în coordonate polare, și modul de calcul al zonei dacă linia este definită parametric.

Soluții și răspunsuri:

Exemplul 2: Soluție:
Efectuați desen:

Pe graficul segmentului este situat deasupra axei, astfel:

răspundă:
Notă: Problema găsirii profesorilor zone de multe ori trebuie să înregistreze răspunsul este nu numai exacte, ci și, în special, aproximativ.

Exemplul 10: Soluție:
Noi reprezentăm această cifră în desen:

Pe graficul segmentului este situat deasupra axei, astfel:

răspundă:
Notă: Observați cum integralei este luat din tangenta în cubul, am folosit o consecință identități trigonometrice de bază. Mai mult, în integralele am folosit metoda însumarea funcțiilor sub semnul diferențial (poate fi utilizat pentru a înlocui definit integral, dar decizia de a obține mult timp). Dacă întâmpinați dificultăți cu aceste integralele, integralele vizita lecția funcțiilor trigonometrice.

(Du-te la pagina de start)

de muncă de calitate, fără a plagiat - Zaochnik.com