Zona trapezului curbilinii

Să presupunem că funcția este non-negativ și continuă pe intervalul. Apoi, în funcție de sensul geometric al definit integral, aria trapezului curbiliniu delimitată de graficul de sus a funcției, din partea de jos - axa. la stânga și la dreapta - și drepte (vezi figura 2 ..) se calculează cu formula:

Exemplul 9. Găsiți zona de cifra delimitată de linie și axa.

Decizie. Graficul funcției este o parabolă a cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Am construi (Fig. 3). Pentru a determina limitele de integrare, vom găsi punctul de intersecție al liniei (parabolei) cu axa (linia dreaptă). Pentru a face acest lucru, vom rezolva sistemul de ecuații

Obținem. în cazul în care. ; Prin urmare. .

forme pătrate din formula (5):

Dacă funcția nu este pozitivă și continuă pe intervalul. aria trapezului curbiliniu, delimitat sub graficul funcției de mai sus - axa. stânga și dreapta - și drepte. Se calculează cu formula

(. Figura 4) Dacă funcția este continuă pe intervalul și modificările la semna un număr finit de puncte, atunci suprafața figurii umbrită este egală cu suma algebrică a integralelor definite corespunzătoare:

Zona Exemplul 10. Se calculează figurii delimitate de axa și graficul funcției la.

Decizie. Vom face desenul (Fig. 5). Zona de căutare este suma pătratelor și. Să ne găsim fiecare dintre aceste zone. Mai întâi definim limitele de integrare, obținem un sistem de gândire. . Prin urmare:

Astfel, zona figura umbrită este

În final, să trapez curbiliniu mărginită deasupra și sub graficele funcțiilor continue pe segmentul și.
și stânga și dreapta - și drepte (figura 6). Apoi, suprafața sa este calculată cu formula

Exemplul 11. Găsiți zona figurii delimitate de liniile și.

Decizie. Această figură este prezentată în Fig. 7. calculează dimensiunea prin formula (8). Rezolvarea sistemului se află. ; Prin urmare. . Pe segmentul avem. Astfel, în formula (8) așa cum luăm x și ca -. obținem:

Mai multe sarcini complexe pentru a rezolva calculul zonelor prin împărțirea figura în părți disjuncte și calcularea suprafeței întregii figura ca suma ariilor acestor părți.

Exemplul 12. Găsiți aria figurii delimitate de liniile. . .

Decizie. Vom face desenul (Fig. 8). Această cifră poate fi considerată ca un trapez curbat delimitat de axa de jos. stânga și dreapta - și drepte. top - grafice ale funcțiilor și. Deoarece cifra este mărginită de mai sus graficele două funcții, pentru a calcula aria sa separam această cifră drept în două părți (1 - un punct de intersecție a abscisei liniei și). Suprafața fiecăreia dintre aceste părți se măsoară prin formula (4):

(. Sq U.); (Q. U.). Prin urmare: