Elaborarea sistemului de ecuații

§ 72. Numerele simple și complexe.

Ia câteva numere și a vedea ce numărul de acțiuni fiecare dintre ele.

5 împărțit la 1 și 5;

6 "" 1, 2, 3 și 6;

9 "" 1, 3 și 9;

11 "„1 și 11;

12 "" 1, 2, 3, 4, 6 și 12.

Vedem că aceste numere diferă unul de altul prin numărul de divizori. La numărul 12 a demonstrat cel mai mare număr de elemente de divizare (6), în timp ce numărul 5 și 11 - cea mai mică, și anume fiecare dintre ele doar două divizoare 1 și numărul însuși.

Orice număr, alta decât una care este divizibil doar de unul și în sine, este numit simplu.

Un număr care este împărțit nu doar de unul și de la sine, ci și pe alte numere, numit compozit.

Notă. Numărul 1 (unu) nu sunt clasificate ca nici simplu, nici un număr compozit.

.. În prima sută, adică, de la 1 la 100, există 25 amorse, și anume: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

La prima vedere poate părea că o mulțime de amorse numai la începutul numerelor naturale, adică. E. Până la numărul este relativ mare, și că, odată cu creșterea numărului de numere prime va treptat subțire afară și în cele din urmă dispar cu totul. Dar takoe presupunere nu este adevărat, de fapt, există nenumărate numere prime.

Cum știu ce va fi • un număr este prim sau compozit? Pentru a rezolva această problemă, să ia acest număr și împărțiți-l succesiv pe numere prime începând cu numărul 2.

În prezent, un tabel de numere prime, care se extinde la milioane.

Dăm aici un tabel de numere prime, în primele două sute. Aceste numere doar 46. Noi le-au aranjat, astfel încât fiecare rând este format din numere prime o duzină. Prin urmare, în primul rând sunt numere prime doar primele zece a doua linie - doar a doua, etc ...

Avertizează în legătură cu o eroare: nu se poate considera că numerele care se termină în 1, 3, 7,9, în mod necesar să fie simplu, cum ar fi un număr de 21, 33, 27, 39 și multe altele - componente.

Planșe de amorse face matematică în cele mai vechi timpuri. Prima încercare de acest fel este atribuit matematician alexandrină și geograf Eratostene (a trăit în secolul III î.Hr.. E.). Metoda Eratostene constă în aceea că o serie de numere naturale, eliminându-se, treptat, toate numerele compuse. O astfel de metodă de elaborare a unui tabel de numere prime se numește „sită de Eratostene“.

§ 73. Descompunerea numerelor în factori de prim.

Fiecare număr compozit poate fi scris ca produs de numere prime. Vom arăta mai întâi în număr mic. Numărul 4 este divizibil cu 2 și dă privat 2. Deoarece dividendul este un divizor înmulțit cu coeficientul, putem scrie: 4 = 2 • 2. Numărul 6 este divizibil cu 2 și 3 oferă un privat, astfel încât să puteți scrie: 6 = 2 • 3.

Să luăm un alt exemplu:

Acolo sa dovedit a fi de 3 factori principali (trei) doi câte doi. Sa întâmplat după cum urmează. În primul rând, ne-am împărțit la 2 și 8 au primit într-un privat 4, dar din moment ce 4 are, de asemenea, un număr compozit, atunci l-am prezentat ca un produs de doi doiari. Acest proces poate fi scris ca:

Să ne dea câteva exemple, fără o explicație:

9 • 3 = 3; 2 • 10 = 5; • 15 = 3 5; 16 = 2 • 2 • 2 • 2.

Am luat un număr de componente, iar fiecare dintre ele este reprezentat ca un produs de numere prime. Această transformare se numește numărul factorizarea. Astfel, a extins numărul de amorse - atunci prezenta ca un produs al amorse.

Numărul compozit este descompus în factori de prim într-un mod unic. Acest lucru înseamnă că, în cazul în care, de exemplu, numărul 20 este descompus în două Așii și unu și cinci, este și va fi întotdeauna atât de degradată, indiferent dacă vom începe cu extinderea factorilor mici sau mai mari. Descompunerea start Acceptată cu factori mici, t. E. Cu doi cate doi, treiari, și așa mai departe. D. Acest lucru este convenabil, deoarece divizibilitatea numărul 2, 3, 5 ușor judecat decât divizibilitatea ea, de exemplu, 37 sau 53 .

Precum efectuat de factoring? Luați numărul 24, și să se extindă-l la factorizarea. Vom începe cu cea mai mică împărțitor; 24, numărul este divizibil cu 2 și prevede, în special, 12; la rândul său 12 este divizibil cu 2 și dă privat 6; Mai mult, numărul 6 este divizibil cu 2 din nou și dă numărul prim privat 3. Prin urmare, extinderea este reprezentat sub forma:

Atunci când se efectuează de expansiune nevoie de motive, după cum urmează: 24 este egal cu doi (2 scrie) înmulțit cu 12 (12 nu scrie și să păstreze în minte); 12 este doi (scrie 2) înmulțit cu șase (6 amintesc); 6 este egal cu doi înmulțit cu 3 (write 2 și 3).

Descompunerea numerelor mari este, în esență, nu diferă de descompunerea mici. Descompunem în factori de prim-100:

100 = 2 • 2 • 5 • 5.

În aritmetica există încă o altă formă de scriere, care facilitează descompunerea unui număr mare: este scris că nu numai separatoare, ci și privat, precum și factorii înșiși nu sunt plasate într-un rând și o coloană. Ne extindem, de exemplu, factorii principali ai 1260 număr.

Desenați dreptul liniei verticale și numărul pentru ei de a scrie primul dintre ei cel mai mic divizor mai mare decât unitatea. Acesta va fi numărul nostru 2. Impartirea cu 2 și scrie caracteristicile particulare ale 630 lăsat sub numărul dat. Acum vom găsi cel mai mic divizor de 630, împărțiți prin Nego acest număr și scrie câtul din nou pe stânga. Divizorul este 2 și 315. Alte acțiuni particulare sunt realizate exact în același mod. La final vom obține un prim privat (7), împărțiți-l de 7 și pentru a găsi ultimul câtul (1).

Să ne dea câteva mostre de descompunere „într-o coloană“ a unui mare număr:

După descompunere „în coloana“ ar trebui să fie factori pentru a scrie într-o linie, de exemplu:

5390 = 2 • 5 • 7 • 7 • 11

În unele cazuri, pentru a facilita poate fi pre-extins la un număr mare de factori de care • convenabil, care sunt ușor de detectat. De exemplu, numărul 3600 poate fi mai întâi extins după cum urmează: 3600 = 36 • 100 și apoi extins separat 36 și 100, adică ..

36 = 2 • 3 • 2 • 3; 100 = 2 • 2 • 5 • 5.

Prin urmare, 3600 = 2 • 3 • 2 • 3 • 2 • 2 • 5 • 5 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5.

Notă. Primes este de obicei scrisă în ordine crescătoare.

Ați observat cu siguranță că este convenabil să aloce un factor care se încheie zerouri. În acest sens, este util să ne amintim cum să factor numere de unitate ilustrate cu zerouri. Toate aceste numere sunt numai descompuse câte doi și cinciari, cu câte doi și cinciari se transformă în mod egal, de exemplu. E. Cât de multe grupuri de câte doi, cinciari, și atât de mult. De exemplu:

10 = 2 • 5
100 = 2 • 2 • 5 • 5
1000 = 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5
10 000 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 • 5.

Deoarece câte doi sau cinciari, atâta timp cât numărul este zero, aceste extinderile sunt ușor de reținut.

§ 74. Scurt record de factoring.

Dintre aceste exemple de descompunere a numerelor în factori de prime arată că fiecare număr are propria structură și este destul de anumiți factori. În cazul în care printre factorii au un număr egal, este posibil să se bucure de o formă foarte convenabilă de înregistrări abreviate. Descompunem în prim-factori de două numere, 30 și 32:

32 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2.

Mai întâi de toate multiplicatorilor sunt diferite, al doilea multiplicatorii sunt toate la fel. În primul caz, nu există posibilitatea de a scrie descompunerea mai scurte, iar în al doilea caz, posibilitatea este: factor recurent este scris o dată, și un număr care indică de câte ori se repetă, este scris pe partea de sus, spre dreapta, număr mic:

32 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2 mai.

Vom arăta un alt exemplu. Descompusă în factori de prim de 729:

729 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 6 martie.

La sfârșitul secțiunii precedente am arătat factorii principali de numere unitate înfățișată cu zerouri. Acum putem scrie astfel de extinderi mai scurte:

2 • 10 = 5; 10 000 = 2 4 • Pot 4;

100 = 02 februarie • 02 mai; 100 000 = 2 5 • Pot 5;

1 000 = 2 3 • Pot 3; 1 000 000 = 2 6 • 06 mai.

625 = 5 • 5 • 5 • 5 sau = 625 04 mai.

Sensul acestei ecuații este că prim factorizarea 625 a inclus un factor de multiplicare de 5 ori 4, sau, cu alte cuvinte, numărul 625 este descompus în patru și cinci.

Înregistrare 04 mai după cum urmează: cinci în al patrulea grad. Amintiți-vă că

10 2 Citește: 10 în al doilea grad;

09 martie „9 la puterea a treia;

08 aprilie „8 în al patrulea grad.

Urmați restul de calcul:

9 3 = 9 • 9 • 9 = 729, deci: 729 = 9 3,

08 aprilie = 8 • 8 • 8 • 8 = 4096, deci: 4096 = 8 aprilie.

Astfel, au existat două probleme aici. Primul este faptul că, cu un anumit număr, se descompune în factori de prim, adică. E. Ca un produs de numere prime. De exemplu, aranja 720 în factori de prim:

720 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 4 03 februarie • 2 • 5.

A doua problemă este inversul primul, este că, la degradarea • numărul de amorse pentru a restabili acest număr.

De exemplu, având în vedere extinderea 02 martie 02 martie • • • 2 mai 7. Să aflăm ce număr este această descompunere. Pentru a face acest lucru, urmați acești pași:

2 3 3 2 • • • 7 5 2 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7 = 9 • 8 • 25 • 7 = 12.600.

Deci, dacă vom scrie 2 10 = 1024, va avea loc o 2 bază punctul 10 - exponent și numărul 1024 va fi gradul.

§ 75. Cel mai mare divizor comun.

Ia trei numere: 60, 90 și 120. Fiecare dintre ele este împărțit la 30. Aceasta înseamnă că numărul este un divizor de 30 fiecare. Noi spunem că numărul 30 are un divizor comun de 60, 90 și 120.

În viitor, avem de multe ori să caute divizor comun a două, trei și așa mai departe. Numbers D.. Amintiți-vă că mai multe numere de comun este divizor numărul prin care numărul de date divizate, fără rest.

Rețineți că unele numere nu poate fi un divizor comun, alta decât unitatea, în timp ce celălalt poate fi de mai multe. De exemplu, numerele 27 și 32 nu au divizori comun, cu excepția 1;

numerele 25 și 35 au un divizori comun 1 și 5;

numerele 42 și 105 au divizori comuni: 1, 3, 7 și 21;

numerele 21, 35 și 49 au divizori comune 1 și 7.

Numerele care nu au divizori comune (cu excepția unuia) sunt numite relativ prim.

Luați două numere: 60 și 75, și să vedem ce au factori comuni.

Numărul 60 este divizibil cu 1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30;

75 împărțit la numărul 1, 3, 5, 15, 25.

Prin urmare, aceste numere doar patru comune este 1 împărțitor, 3, 5 și 15.

Cel mai mare dintre aceste divizori comune este numărul 15, care este numit cel mai mare divizor comun al numerelor 60 și 75.

Cel mai mare divizor comun al mai multor numere este cel mai mare număr care împărțit toate aceste numere.

Am menționat mai sus, care sunt numite numere prime între ele; Acum, aceeași idee ne exprimăm în mod diferit.

Două numere ale căror divizor comun este cea mai mare unitate, a declarat a fi relativ simplu.

Cum de a găsi cel mai mare divizor comun al mai multor numere?

Ia primele două numere: 63 și 84, și va găsi cea mai mare divizor comun. Ne extindem aceste numere în factori de prim:

63 = 3 • 3 • 7; 84 = 2 • 3 • 2 • 7.

Pentru ambele aceste numere sunt împărțite într-un număr al treilea, este necesar ca acestea din urmă au fost factorii comuni la două numere date; cel mai mare divizor comun obținut prin înmulțirea tuturor factorilor comuni simpli. factorii comuni în aceste numere sunt 3 și 7. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor (63 și 84) vor fi abreviat 21. Această scris ca:

GCD (63 și 84) = 21.

Luați în considerare un alt exemplu. Noi găsim cea mai mare comună; divizoare trei numere: 420, 630 și 260. 1 descompune fiecare dintre aceste numere de numere prime:

Scriem factorii comuni acestor trei numere. Numărul 2 include factorul comun în toate cele trei dintre aceste numere, dar numai o singură dată; a doua oară factorul 2 este inclus în prima și a treia cifră, dar care nu sunt incluse în numărul de 3 630 o dată este inclusă în toate aceste numere, dar a doua oară este inclus doar în ultimele două numere. Numerele 5 și 7 include multiplicatori la toate aceste numere. Prin urmare, factorii comuni sunt: ​​.. 2, 3, 5 și 7. Produsul lor, adică 210, și va fi cel mai mare divizor comun al numerelor de date.

Prin urmare, regula:

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al mai multor numere, trebuie să împărțiți acest număr în factori de prim și luând factorii comuni pentru toate numerele, le multiplica împreună.

§ 76. Cel mai mic multiplu comun.

Am vorbit la momentul respectiv (§ 64), că, dacă un număr este egal divizibil cu o alta, primul este numit un multiplu al doilea, iar al doilea - primul separator. Numărul 60 este divizibil cu 15, se numește un multiplu de 15 și 15 - 60 divizor.

Dar numărul 60 este împărțit nu numai pe data de 15, dar, de asemenea, pe alte numere, cum ar fi 20, 30 și așa mai departe. D. Apoi, avem dreptul să spunem că 60 este un multiplu nu numai 15, ci, de asemenea, 20 și 30.

Pentru fiecare număr sunt infinit de multe ori mai mari. De exemplu, pentru numerele sunt multipli de 7: 14, 21, 35, 70, 77, etc ..

Pentru două sau mai multe numere, de asemenea, există multe ori. De exemplu, pentru numerele 12 și 20 sunt multipli de 60, 120, 180, 240, 300, etc ...

Toate acestea sunt multipli comune pentru numerele 12 și 20.

multiplu comun al acestor numere se numește fiecare număr care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere.

Dintre toate comune multiplii de interes particular este cel mai mic multiplu comun.

Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere întregi date numit cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere.

De exemplu, pentru numerele 10 și 15, cel mai mic multiplu comun numărul (LCM abreviat) este de 30; pentru numerele 12 și 18, ca atare, va fi numărul 36; pentru numerele 10, 15 și 20 - numărul aparent de 60.

Să presupunem că doriți să găsiți cel mai mic multiplu comun de 90, 60 și 50. Extindem anterior aceste numere în factori de prim:

Cel mai mic multiplu comun este divizibil cu 90, atunci o parte din acesta trebuie să includă toți factorii de 90. In plus, cel mai mic multiplu este divizibil cu 60, și care este ,. E. În componența acestuia ar trebui să includă multiplicatori și acest număr este, în sfârșit, în același timp, ar trebui să împartă și în ultima zi -50, prin urmare, acesta trebuie să conțină multiplicatori și acest ultim număr. Având în vedere toate aceste circumstanțe, vom proceda după cum urmează: în primul rând, vom scrie în jos toți factorii de prima (90) și apoi pentru a furniza divizibilitatea din titlu ori numerele rămase multiplicatori scrise pentru a adăuga alte numere ale acestor factori, care sunt lipsite în extinderea 90. obținem următoarele:

NOC (90, 60, 50) = 2 • 3 • 3 • 5. 2. 5 = 900.

De aici obținem regula:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al mai multor numere trebuie să se extindă aceste numere în amorse, luând apoi extinderea uneia dintre ele, atribuită lui lipsesc factorii principali ai numărului de alte extinderi și le multiplica împreună.

În cazul în care mai multe dintre aceste numere este divizibil cu toți ceilalți, acesta va fi cel mai mic multiplu al acestor numere. De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 120, 60 și 40 va fi de 120.

Dacă nu pereche de aceste numere nu are factori comuni, apoi pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor de date care urmează să fie multiplicate. De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 11, 14 și 15 este egală cu produsul lor, m. F.

NOC (11, 14, 15) = 11 • 14 • 15 = 2310.

Realizat de uCoz